미분(Differential)과 적분(Integral)의 개념이 창안되고 나서 수학의 세계는 혁명적인 변화를 경험하게 됩니다. 현재 상태만을 주시하던 인간들은 상태의 변화를 볼 수 있게 되었고, 더 나아가 상태 변화의 변화까지 볼 수 있게 되었습니다. 비유하자면 심봉사가 눈을 뜬 것과도 같은 인식의 지평이 열린 대 사건입니다.
대학에 들어가서 배우게 되는 거의 모든 분야의 공학, 수학, 자연과학, 경제학 등에서 미분과 적분이 기본적인 도구로 사용됩니다. 이것의 이해를 하지 않고서는 한치도 앞으로 나갈 수 없습니다.
미분과 적분은 서로 대칭을 이루는 개념입니다. 미분이 공간을 쪼개는 것이라면, 적분은 쪼개어진 것을 모으는 것입니다. 물건을 부수기는 쉬워도, 부숴진 것을 다시 원래되도 되돌리는 것이 어렵듯, 미분을 풀이하는 것은 용이하지만, 적분은 그렇지 않습니다.
하지만 컴퓨터의 세계에서는 그렇지 않습니다. 모든 것을 단순한 계산으로 환원시키는 수치해석의 칼을 들이대면 아무리 어려운 미분이든 적분이든 컴퓨터 앞에서는 한나절 놀이거리 입니다.
이번 장에서는 미분과 적분의 간략한 개념을 살펴보고, 이를 컴퓨터의 계산으로 어떻게 어떻게 풀이할 수 있는지를 알아 봅니다. 미분/적분의 개념을 잘 모르더라도 오히려 수치해석으로 바라보는 미분/적분을 이해하면 거꾸로 본래의 의미를 파악할 수도 있습니다. 모로 가든 도로 가든 서울만 가면 됩니다.
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26.0 수치 미분/적분 - 시작 : 수치 미분과 적분은 컴퓨터의 뛰어난 계산 능력을 활용한 수치해석적 방법으로 미분과 적분을 계산하는 방법입니다. 수치 미분은 테일러 급수를 이용하고, 수치 적분은 정밀도와 계산 효율성을 위해 다양한 방법들이 제안되고 있습니다.
26.1 수치 미분 : 미분의 개념과 테일러 급수(Taylor Series)의 개념을 알아 봅니다. 테일러 급수는 임의의 곡선을 특정 점 부근에서 비슷하게 흉내내는 다항식을 구하는 수학적 방법입니다. 이를 이용하여 모든 곡선의 미분을 다항식의 계산으로 근사시킬 수 있습니다. 테일러 급수를 이용하여 수치 미분을 구현해 보고, 앞서 배운 뉴턴법을 이 수치 미분으로 개선해 봅니다.
26.2 수치 적분 - 사각형 법 (Rectangle Method) : 수치 적분에서 다루는 것은 정적분(Definite Integral)로서 쉽게 이해하고자 한다면 어떤 함수가 x축과 그리는 영역의 면적을 구하는 방법입니다. 그래서 구적법이라고도 합니다. 사각형 법은 적분의 개념이 정립되기 훨씬 전부터 면적을 구하기 위한 방법으로 사용되어 왔던 전통적인 방법론입니다.
26.3 수치 적분 - 사다리꼴 법 (Trapezoidal Method) : 적분을 구하고자 하는 함수가 곡선이라면 사각형으로 곡선을 흉내내는 것 보다, 사다리꼴로 흉내내는 것이 더 효율적입니다. 특히 곡선의 요철에 따라 좀 더 많이 구해지거나 덜 구해지기 때문에 서로 상쇄되어 정밀도가 더 높아질 수도 있습니다.
26.4 수치 적분 - Simpson 법 : 곡선을 흉내낼 때 사각형 보다는 사다리꼴이 더 비슷하다면, 아예 2차 곡선은 어떨까요? 세개의 점을 지나는 2차 곡선을 구하고 이를 이용하여 면적을 구하면 곡선의 적분에 더 유리합니다.
26.5 수치 적분 - Adaptive Quadrature : 적분의 수치해석 계산은 쪼개는 사각형의 크기가 작을수록 정밀해 집니다. 하지만 이미 필요한 만큼 정밀한데 더 이상 쪼개어봐야 정밀도가 눈에 띄게 향상되지는 않습니다. 계산의 비용은 늘어나지만 계산 결과의 효용성이 그만큼 높아지지 않는 것이죠. 특히 곡선의 부분 부분에 따라 이런 경우도 있고, 더 쪼개어야 할 경우도 있습니다. 이렇게 구간에 따라 쪼개어 들어가는 정도를 Adaptive하게 결정하는 방법을 Adaptive Quadrature라고 합니다. 이를 이용하면 계산 비용을 최소로 하면서 최고의 정밀도를 구현할 수 있습니다.
26.6 수치 적분 - 몬테카를로 법 (Monte Carlo Method) : 난수를 이용하여 단순 계산으로 얻기 어려운 영역의 면적을 구하는 방법입니다. 적용하는 난수의 수가 많아질 수록 정밀도는 더욱 높아집니다. 완전히 새로운 발상의 전환을 보게 될 겁니다.
26.9 수치 미분/적분 - 결론 : 수치 미분은 테일러 급수의 활용으로 단순하지만, 수치 적분은 정밀도와 계산량의 두 척도에서 여러가지 알고리즘이 제시되고 있습니다. 단순한 알고리즘에서 어떤 문제점을 발견하고, 그를 개선하기 위한 점진적인 변화를 살펴보는 것은 매우 흥미롭고 유익한 과정입니다.
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